Question

【题目】已知：如图，在半圆中，直径的长为6，点是半圆上一点，过圆心作的垂线交线段的延长线于点，交弦于点．

（1）求证：；

（2）记，，求关于的函数表达式；

（3）若，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得∠CAB+∠ABC=90°，根据DO⊥AB，得出∠D+∠DAO=90°，进而可得出结果；

（2）先证明，得出，从而可得出结果；

（3）设OD与圆弧的交点为F，则根据S阴影=S△AOD-S△AOC-S扇形COF求解．

（1）证明：∵是直径，∴，

∴．

∵，∴．

∴．

（2）解：∵，∴．

∴．而，∴，

∴即，

∴．

（3）解：设OD与圆弧的交点为F，设，则，

∵，∴．

在中，，∴．

∴∠AOC=60°，∴DO=AO=3．

又AO=CO，∴△ACO为等边三角形，

S阴影=S△AOD-S扇形COF-S△AOC =．