Question

已知a²+b²=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0（1）
恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．

Answer 1

解：整理不等式（1）并将a²+b²=1代入，得
（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0（2）
在不等式（2）中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0．
易知1+a+b＞0，0＜＜1，
故二次函数y=（1+a+b）x²-（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．
由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，
所以它的判别式△=（2a+1）²-4（1+a+b）a≤0，即ab≥．
由方程组
（3）
消去b，得16a⁴-16a²+1=0，所以a²=或a²=．
又因为a≥0，所以a=或a=，
于是方程组（3）的解为或，
所以ab的最小值为，此时a，b的值有两组，分别为
a=，b=和a=，b=．
分析：由已知条件a²+b²=1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．
点评：此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考．