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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙P经过原点O，交x的正半轴于点A（2a，0），交y轴的正半轴于点C，经过点P且与x垂直的直线交两弧及圆于点B、D、E，弧OBA与弧ODA关于x轴对称，以点D为顶点且过C点的抛物线交⊙P于另一点F．
    （1）当a=3时
    ①填空：D点的坐标为
     
    ；E点的坐标为
     
    ；C点的坐标为
     
    ；
    ②求出此时抛物线的函数关系式及F点的坐标；
    ③除C点外，直线BC与②中的抛物线是否存在其它公共点？若存在，求其它公共点的坐标；若不存在，请说明理由；
    （2）是否存在实数a，使得以D、C、E、F为顶点的四边形组成菱形？若存在，求a的值；若不存在，请说明理精英家教网由．
    分析：（1）①当a=3时，2a=6，利用垂径定理就可以求出OH=3，由勾股定理就可以求出HP，易得HB，可知E点坐标，又根据轴对称很容易得出四边形OBAD是菱形，就得DH=HB而得出点D的坐标．利用三角形全等可以得到GE=HB，求出OC，从而求出C点坐标．
    ②利用C点和D点的坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性可知F点的坐标．
    ③根据B、C的坐标求出BC的解析式，利用两图象的解析式求出交点坐标判断是否存在另一交点．
    （2）设出D（a，h），根据菱形的性质：对角线互相垂直平分以及勾股定理就可以求出满足条件的a的值．
    解答：精英家教网解：（1）①连接OP，OD，OB，AB，AD，CE，作CF⊥BE于点G，交⊙P于点F．
    ∴∠CGE=90°
    ∵BE⊥AO
    ∴∠GHO=90°，OB=OA，OH=AH=
    1
    2
    OA=a
    ∵弧OBA与弧ODA关于x轴对称
    ∴OD=OB，AD=AB
    ∴OD=OB=AD=AB
    ∴四边形OBAD是菱形
    ∴HB=HD
    ∵∠GHO=90°，∠CGE=90°，∠AOC=90°
    ∴四边形COHG是矩形
    ∴CG=OH，GH=CO
    ∵OC∥BE
    ∴
    CE
    =
    OB

    ∴CE=OB
    ∴Rt△CGE≌Rt△OHB
    ∴GE=HB
    ∵A（2a，0）
    ∴OA=2a，且a=3
    ∴OA=6
    ∴OH=3，在Rt△OPH中由勾股定理得：
    PH=
    		52-32

    PH=4
    ∴HB=1，
    ∴HD=1，GE=1，GH=CO=8，HE=9
    ∴D（3，1），B（3，-1），E（3，9），C（0，8）
    故答案为：D（3，1），E（3，9），C（0，8）
    ②设抛物线的解析式为：y=a（x-3）2+1由题意，得
    8=9a+1
    a=
    7
    9

    ∴抛物线的解析式为：y=
    7
    9
    (x-3)2+1    ，根据抛物线的对称性可以得知
    C点F点关于BE对称，当y=8时，求得x=6，所以F（6，8）．
    ③设BC的解析式为：y=kx+b，则
    -1=3k+b
    8=b

    解得：
    k=-3
    b=8

    ∴直线BC的解析式为：y=-3x+8
    ∴
    y=-3x+8
    y=
    7
    9
    (x-3)2+1

    解得：x1=0，x2=
    15
    7

    ∴除C点外，直线BC与②中的抛物线的另一个公共点为：（
    15
    7
    ，
    11
    7
    ）；

    （2）设D（a，h），则B（a，-h），E（a，10-h）
    假设以D、C、E、F为顶点的四边形组成菱形，则DE与EF互相垂直平分，设DE与EF相交于点G，则DG=EG
    ∴10-3h=h
    ∴h=
    5
    2
    ，∴BD=2h=5
    ∴D、P两点重合
    ∴a=
    		52 -(
    5
    2
    )    2
    =
    5
    2
    		3
    ．
    点评：本题考查垂径定理，勾股定理，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的运用，待定系数法求函数的解析式等多个知识点．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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