Question

【题目】如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．

（1）求BC的长．

（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值为

【解析】

（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；

（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BD⊥CD时， BD的值最小，进而即可求解．

（1）过点A作AM⊥BC于点M，

∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，

∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，

∴BM=3÷2×=，

∴BC=2 BM=2×=3；

（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

∴在RtBDF与RtBDE中，OB=OD=OE=OF=BD，

∴B，D，E，F四点共圆，

∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，

∴OEF是等边三角形，

∴EF=OF=BD，

∵∠C=∠EBF =30°，

∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，

∴EF的最小值=BD =×=．