Question

【题目】若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．

（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．

①证明：点P就是△ABC费马点；

②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；

（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①证详见解析；②详见解析；（2）．

【解析】

（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．证明△ADC≌△ABE（SAS）即可解决问题．

②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．证明△DAT≌△BAP（SAS），推出PD＝PA+PB即可解决问题．

（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．

（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．

∵△ADB，△ACE都是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，

∴∠DAB＝∠BAE，

∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，

∵AM⊥CD，AN⊥BE，

∴CDAM＝BEAN，

∴AM＝AN，

∴∠APM＝∠APN，

∵∠AOD＝∠POB，

∴∠OPB＝∠DAO＝60°，

∴∠APN＝∠APM＝60°，

∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，

∴点P是就是△ABC费马点．

②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．

∵∠APT＝60°，PT＝PA，

∴△APT是等边三角形，

∴∠PAT＝60°，AT＝AP，

∵∠DAB＝∠TAP＝60°，

∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，

∴△DAT≌△BAP（SAS），

∴PB＝DT，

∴PD＝DT+PT＝PA+PB，

∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．

（2）如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．

∵△MGD和△OME是等边三角形

∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，

∴∠GMO＝∠DME

在△GMO和△DME中，

，

∴△GMO≌△DME（SAS），

∴OG＝DE

∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO

∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，

∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，

∴∠NMD＝135°，

∴∠DMF＝45°，

∵MG＝3

∴MF＝DF＝，

∴NF＝MN+MF＝4＝，

∴ND＝＝＝，

∴MO+NO+GO最小值为，

故答案为，