Question

【题目】如图，在中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点分别在上（点不与点重合），且45°，若是等腰三角形，则______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

由题意可知D与B、C不重合，所以分两种情况讨论：①当AD=BD，此时可得出∠B=∠BAD=45°，从而得出△ADB为等腰直角三角形，从而△ACD也为等腰直角三角形，进而求而DE的长；②当AB=BD，可得BD，CD的长，再根据等角对等边得出CE=CD，进而可得AE的长．

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．

由题意点D不与点B，C重合，分以下两种情况：

①当AD=BD时（如图1），

∴∠B=∠BAD=45°，∴∠ADB =90°=∠ADC，

又AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴D为BC的中点，

∴AD=CD，

又∠ADE=45°，

∴∠ADE=∠CDE=45°，即DE平分∠ADC，

∴E为AC边的中点，
∴CE=AE=1；
②当AB=BD时（如图2），

∵∠B=45°，∴∠BAD=∠BDA=67.5°．
∵∠ADE=45°，∴∠CDE=180°-∠BDA-∠ADE=67.5°，

∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=67.5°，

∴CD=CE．

∵AB=AC=2，∠BAC=90°，∴BC=2，

∴CD=BC-BD=BC-AB=2-2，

∴CE=2-2，

∴AE=AC-CE=2-(2-2)=4-2．

综上所述，CE的长为1或4-2．
故答案为：1或4-2．