Question

已知抛物线y=a（x-1）²-2与x轴交于A、B两点，顶点为C，B点坐标为（3，0）
（1）求a的值；
（2）若以AB为直径的圆与y轴正半轴交于D，直线y=kx+b与该圆相切于D，求直线的解析式；
（3）设E为抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点F使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将B（3，0）点坐标代入抛物线y=a（x-1）²-2得：
0=a（3-1）²-2，
解得a=；

（2）抛物线的顶点C的坐标为（1，2），
抛物线y=（x-1）²-2与x轴交于A、B两点，
已知B点坐标为（3，0），则A坐标为（-1，0），
AB=4，以AB为直径的圆的半径为2，
⊙E的方程为（x-1）²+y²=4，
当x=0时，y=，
∴D点坐标为（0，），直线DE的斜率为k=-，
∵直线y=kx+b与该圆相切于D，
故直线l的斜率为，
将D（0，）点坐标代入y=x+b，
解得b=，
∴直线的解析式为y=x+；

（3）存在，设E点坐标为（1，y），
要想使四边形ABEF为平行四边形，E、F两点必须关于AB对称，
又∵点E在对称轴上，故点F也应该在对称轴上，
又∵点F在抛物线上，
故点F应该在抛物线的顶点C的位置时四边形ABEF为平行四边形，
故点F的坐标为（1，2），点E坐标为（1，-2）
分析：（1）将B点坐标代入抛物线y=a（x-1）²-2即可求得a的值；
（2）先根据圆的方程求出D点坐标，再将D（0，）点坐标代入y=kx+b，即可求得直线的解析式；
（3）根据平行四边形的性质和E点坐标的位置，便可求出点F的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和直线与圆相切及平行四边形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．