Question

如图所示，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0）、B（1，0）、C （-2，6 ）。
（1）求经过A、B、C、三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问：以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

Answer 1

解：（1）设经过A、B、C三点的抛物线解析式为，
依题意，得：            
将点C（-2，6）代入，解得：a＝-1
∴所求抛物线的解析式为：；
（2）由B（1，0）、C（-2，6），易求得：过BC的一次函数解析式为：y＝-2x＋2       
∴当x＝0，y＝2，
即：点E坐标为（0，2）
∴，        
∴AE＝CE ； 
（3）相似，理由如下：由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝-x²-3x＋4，
∴当x＝0，y＝4，?点D的坐标为（0，4）
由过BC的一次函数y＝-2x＋2和过AD的一次函数y＝x＋4，
联立求得它们的交点F，
∴点F的坐标为
∴BF＝，BC＝，AB＝5
∴
又∵∠ABF＝∠CBA
∴△ABF∽ABC。