Question

如图，平面直角坐标系中点A坐标为（2，-4），以A为顶点的抛物线经过坐标原点交x轴于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）取线段AB上一点D，以BD为直径作⊙C交x轴于点 E，作EF⊥AO于点F，求证：EF是⊙C的切线；
（3）设⊙C的半径为r，EF=m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合已知条件可以知道抛物线经过A（2，-4），O（0，0），代入解析式，即可求出抛物线的解析式；
（2）连接CE，只要求证CE∥AO，结合已知推出EF⊥CE，即可求证出结论；
（3）作AH⊥OB于H点，结合勾股定理和抛物线的性质求出个线段的长度，根据平行线的性质，写出比例式，求出半径CB的长度

解答：（1）解：设y=a（x-2）²-4，把O（0，0）代入，得4a-4=0，
∴a=1，
∴y=（x-2）²-4=y=x²-4x；

（2）证明：连接CE，
∴CE=CB
∴∠CEB=∠CBE
∵抛物线有对称性
∴AO=AB
∴∠AOB=∠OBA
∴∠AOB=∠CEB
∴CE∥AO
∵EF⊥AO
∴EF⊥CE
∴EF是⊙C的切线（5分）

（3）解：

作AH⊥OB于H

，∴OH=HB=2，AH=4，AO=AB=2

5

，
∴

EC

OA

=

BE

OB

，即

r

2 5

=

BE

4

∴BE=

2 5

5

r，
由题意可知：OH=2，AH=4，根据勾股定理得：OA=2

5

，
∴sin∠AOH=

2 5

5

，
∵OB=4，BE=

2 5

5

r，
∴OE=4-

2 5

5

r，
∴sin∠AOH=

EF

OE

，即m=EF=OE•sin∠AOH=

8 5

5

-

4

5

r．
∴EF=

8 5

5

-

4

5

r（10分）．
∵点D在线段AB上，A（2，-4），B（4，0），
∴AB=

(2-4)2+(-4)2

=2

5

，
∴0＜r＜

5

．

点评：本题主要考查抛物线的确定、抛物线的性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线定理性质，本题关键在于确定好辅助线，综合运用有关性质定理解决实际问题．