Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（—1，0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作CD//x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC的面积为S₁, △DEC的面积为S₂，求S₁：S₂的值；

（3）点F坐标为（6，0），连接D，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值..

 

Answer 1

【答案】

解：（1）

（2）

（3）当时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。

【解析】

试题分析：（1）由∵抛物线的对称轴是直线x=和经过点A（—1，0），得，解之即可得抛物线的解析式。

∵抛物线的对称轴是直线x=，∴①。

又∵抛物线经过点A（—1，0），∴②。

联立①②，解得。

∴抛物线的解析式为。

（2）根据相似三角形和等高三角形的性质，可得和，从而，即S₁：S₂=。

在中令x=0得，∴C（0，4）。

∵抛物线的对称轴是直线x=，CD//x轴交抛物线于点D，∴D（3，4）。

又OA=1，CD=3，

∵CD//x轴，∴△AEO∽△DEC。∴③。

又∵△AEO和△AEC是两等高三角形，∴④。

③÷④，得，即S₁：S₂=。

（3）分四种情况讨论：

①当点P在EC上运动，∠PDQ=90⁰时，如图1，

过点D作DG⊥AB于G，则CD=3，PC= 3—3t，GD=4，QG=3—2t，

由△PCD∽△QGD得，即，解得。

②当点P在CD上运动，∠PDQ=90⁰时，如图2，

OQ=6—2t，CD=3，此时，OQDC是矩形。由OQ=CD，即6—2t=3解得。

③当点P在CD上运动，∠QPD=90⁰时，如图3，

OQ=6—2t，CP=3t—3，此时，OQPC是矩形。由OQ=CP，6—2t=3t—3解得。

④当点P在DF上运动，∠QPD=90⁰时，如图4，

由D（3，4），F（6，0），根据勾股定理可得DF=5。

过点D作DG⊥AB于G，则DF=5，GF=3， PF= 11—3t， QF=2t，

由△FPQ∽△FGD得，即，解得。

综上所述，当时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形。