Question

设k为实数，且方程x²-2kx+k+6=0的两实根为a、b，则（a-1）²+（b-1）²的最小值为

1. A.
   0
2. B.
   8
3. C.
   
4. D.
   18

Answer 1

B
分析：根据方程有两实根，可知△≥0，解不等式求k的取值范围，且有a+b=2k，ab=k+6，将所求式子变形为a+b、ab的结构，整体代入转化为关于k的二次函数关系式，在自变量的取值范围内，求式子的最小值．
解答：∵方程有两实根，
∴△=（-2k）²-4（k+6）=4（k+2）（k-3）≥0，
解得k≤-2或k≥3，
设y=（a-1）²+（b-1）²，
则y=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2，
∵a+b=2k，ab=k+6，
∴y=4k²-6k-10=4（k-）²-，
当k=3时，y取最小值8．
故选B．
点评：本题考查了二次函数最值的运用．关键是根据题意求k的取值范围，将所求式子转化为关于k的二次函数关系式．