Question

【题目】如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．

（1）已知抛物线，判断下列抛物线：①；② 与已知抛物线是否关联，并说明理由；

（2）已知抛物线: ，点P的坐标为，将抛物线绕点旋转180°得到抛物线（此处我们称点P为旋转点），若抛物线与关联，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，已知点是抛物线上的一点，求以点A为顶点并与抛物线相关联的抛物线的解析式，并判断此时抛物线能否由抛物线旋转得来？若能，请求出旋转点坐标；若不能，请说明你的理由；

（4）由上述结论猜想：若两抛物线相关联，则它们的二次式项系数（分别记为）应满足数量关系： ．

参考公式（中点坐标公式）：若点，则线段AB的中点坐标为．

Answer 1

【答案】（1）抛物线①与已知抛物线相关联，而抛物线②不与已知抛物线相关联，理由见解析；（2）抛物线： 或；（3）旋转点；（4）．

【解析】试题分析：（1）首先求出抛物线①、②的顶点坐标，然后根据定义的抛物线关联条件即可进行判断．

（2）先求出抛物线C1的顶点坐标，设C2顶点为（x,y）,根据旋转可知抛物线C2的顶点与C1的顶点关于点P(t，-1)对称，从而可用含t的代数式表示C2的顶点坐标，然后根据定义代入C1的解析式，确定出C2的顶点，从而可求出C2的解析式；

（3）根据题意求出A点坐标，从而可利用顶点式来确定C2的解析式，从而可确定出旋转点的坐标；

（4）根据定义若关联，则二次项系数互为相反数，从而可得.

试题解析：（1）已知抛物线，顶点坐标为，

抛物线①，顶点坐标为，

抛物线②，顶点坐标为，

很明显点在抛物线①上，且点也在已知抛物线

上，而点并不在已知抛物线上，

故抛物线①与已知抛物线相关联，而抛物线②不与已知抛物线相关联；

（2）抛物线: ，顶点坐标为，

设抛物线的顶点坐标为，根据中点坐标公式： ，

解得： ．将代入抛物线，

即： ，解得：t＝0或t＝2，

即抛物线的顶点坐标为或．

又抛物线与抛物线开口大小相同，但方向相反，

∴抛物线： 或，

即抛物线： 或；

（3）将代入抛物线，得： ，∴．

设抛物线： ，将抛物线的顶点代入，

解得： ．此时抛物线： ，即．

∵两抛物线开口大小相同，但方向相反，∴抛物线能否由抛物线旋转得来，

旋转点为两顶点与的中点，即．

（4）．