Question

【题目】如图，已知△ABC，分别以AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD，CE交于点F，设AB=m，BC=n．下列结论①∠BDA=∠ECA; ②若m＝，n＝3，∠ABC＝75°，则BD=；③当∠ABC=135°时，BD最大，最大值为m+n；④AE2=BF2+EF2中正确的有_______。

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

（1）利用△ABE和△ACD是等腰直角三角形，可得△BAD≌△EAC（SAS），进而得出∠BDA=∠ACE；

（2）作EG⊥CB，交CB的延长线与G点，先求得∠EBG=60°，再根据勾股定理即可得到BD的长；

（3）当B，E，C三点共线时，EC取最大值，∠ABC=135°．依据EC=BE+BC=m+n，可得BD=m+n；

（4）依据全等三角形的性质可得∠AEF=∠ABF，进而得出∠EFB=90°，依据勾股定理可得EB2=BF2+EF2，依据BE=AE，即可得出2AE2=BF2+EF2．

①∵△ABE和△ACD是等腰直角三角形，

∴AE=AB，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC=45°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，

∴∠CAE=∠BAD，

在△BAD和△EAC中，

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴∠BDA=∠ACE，

故①正确；

②如图，作EG⊥CB，交CB的延长线与G点，

∵等腰直角三角形ABE，AE=AB=，

∴∠ABE=45°，BE=2，

∵∠ABC=75°，

∴∠EBG=60°，

∴BG=1，

∴根据勾股定理得EG=

∵BC=3，

∴CG=4，

∴根据勾股定理可得，EC2=EG2+CG2，

解得CE=，

∴根据（1）得BD=CE=，

故②正确；

③在△EBC中，BE=m，BC=n，

根据三角形三边关系可得BE+BC＞EC，

∴当B，E，C三点共线时，EC取最大值，∠ABC=135°．如图所示：

∴EC=BE+BC=m+n，

即BD=m+n，

故③正确；

④∵△EAC≌△BAD，

∴∠AEF=∠ABF，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠EFB=90°，

∴EB2=BF2+EF2，

∵BE=AE，

∴2AE2=BF2+EF2．

故④错误.

故答案为：①②③.