Question

【题目】如图，等腰直角中，，为的中点，，为上的一个动点，当点运动时，的最小值为____

Answer 1

【答案】4

【解析】

作点C关于AB的对称点C′，连接DC′、BC′，连接DC′交AB于点P，由轴对称的性质易得EC=EC′，则线段DC′的长度即为PC+PD的最小值， 由等腰直角三角形的性质易得∠CBC′=∠CBA+∠C′BA=90，在Rt△DBC′中，利用勾股定理即可求得线段DC′的长度，问题便可得以解决.

∵，为的中点，，

∴设CD=x，则AC=2x，

∴x2+(2x)2=42

解得x=,

∴BD=CD=,BC=AC=

如图所示，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′、BC′，连接DC′交AB于点E.

∵点C和点C′关于AB对称，

∴PC=PC′，∠CBA=∠C′BA，

∴PC+PD=PC′+PD=DC′，此时PC+PD的长最小.

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，

∴∠CBC′=∠CBA+∠C′BA=45+45=90.

∴在Rt△DBC′中，由勾股定理得DC′= =，

∴PC+PD的最小值为4.

故答案为：4.