Question

【题目】如图，已知平面直角坐标系内，A（﹣1，0），B（3，0），点D是线段AB上任意一点（点D不与A，B重合），过点D作AB的垂线l．点C是l上一点，且∠ACB是锐角，连结AC，BC，作AE⊥BC于点E，交CD于点H，连结BH，设△ABC面积为S1 ， △ABH面积为S2 ， 则S1S2的最大值是 ．

Answer 1

【答案】16
【解析】解：设AD=x，BD=4﹣x，
∵∠HAD=∠EAB，∠ADH=∠AEB=90°，
∴△ADH∽△AEB，
∴ = ，
∴AEDH=ADEB，
∵∠ABE=∠DBC，∠CDB=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△CDB，
∴ = ，
∴EBBC=ABDB，
∵S1S2= AEBC DHAB
=（AEDH）BC
=（ADEB）BC
=AD（EBBC）
=AD（ABBD）
=4x（4﹣x）
=﹣4（x﹣2）2+16，
∵a=﹣4＜0，
∴x=2时，S1S2有最大值，最大值为16，
所以答案是16．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．