Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

Answer 1

【答案】（1）．（2）D（4，）．（3）①四边形OAEB是平行四边形．理由如见解析；②线段BM的长为或．

【解析】

（1）将A（，0）和B（1，）代入抛物线解析式，得：

，解得：，

解析式为：

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴，

∵B（1，），当y=时，，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，），

（3）①四边形OAEB是平行四边形

理由如下：抛物线的对称轴是，

∴BE=-1=，

∵A（，0）

∴OA-BE=

∵BE∥OA

∴四边形OAEB是平行四边形

②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，

∴F（，）．

过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）当点M位于点B右侧时．

在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：．

∵BG=BF，

∴∠BGF=∠BFG．

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF．

又∵∠MGF=∠MGF，

∴△GFB∽△GMF．

∴，即．

∴BM=．

（II）当点M位于点B左侧时，

设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，

∴KF=OB=FB=．

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF．

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，

∴∠BMF=∠MFK．∴MK=KF=．

∴BM=MK+BK=+1=．

综上所述，线段BM的长为或．