Question

已知：抛物线经过坐标原点．
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与轴的另一个交点，试在轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AC∥BP交轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵ 抛物线经过坐标原点,
∴ ="0." 解得.
∵ ，∴  ∴ …1分
∴ .  ………………………….2分
（2）令，得=0，
解得.  ∴ ………..3分
∴点A关于轴的对称点的坐标为.
联结，直线与轴的交点即为所求点P.

可求得直线的解析式：. ∴ ……………………………4分
（3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个．
如图，由勾股定理得，所以△PAC为等边三角形．
易证轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线．作∠PCA的平分线，交轴于点，交过A点的平行线于y轴的直线于点，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交于点，反向延长C交轴于点．可得点就是到直线AP、AC、CP距离相等的点．可证△AP 、△AC、 △PC均为等边三角形．可求得：①，所以点M₁的坐标为；…………5分
②，所以点M₂的坐标为；………………………………....6分③点M₃与点M₂关于x轴对称，所以点M₃的坐标为；………………..…..7分
④点与点A关于y轴对称，所以点的坐标为．
综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为,,,．…………………………….. 8分解析:
略