Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．

（1）点F在边BC上．
①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？
（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ①t=1；②．（2），.

试题分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．
②利用△EBF∽△DCF，得出，列出方程求解．
（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．
试题解析：（1）①如图1

∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，

∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如图2

∵△EBF∽△DCF
∴，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，
∴，
解得：，（舍去），
故．
（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，

A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）
EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵
∵，
∴BO=，OG=，
设O的坐标为（a，b），

解得
∴O的坐标为（，）
把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得
=×+3﹣t，
解得，t=（舍去），t=，
②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，

A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）
EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，
BG所在的直线函数关系式是：y=2x，
∵BG==2
∵，
∴BO=，OG=，
设O的坐标为（a，b），

解得
∴O的坐标为（，）
把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得
=×+3﹣t，
解得：t=．
综上所述，存在t=或t=，使得．
【考点】四边形综合题．