Question

如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．

Answer 1

解：（1）证明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB
∴AB=BC，
∴?ABCD是菱形；

（2）∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFE=∠EBC，
又∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，
∴OA=（AF+BC），
又∵AB=BC，
∴OA=（AF+AB）．
分析：（1）利用平行线的性质以及等角对等边即可证得AB=BC，则依据菱形的定义即可判断；
（2）首先证明△BCE是等腰三角形，然后依据平行四边形的对角线互相平分即可证得．
点评：本题考查了菱形的定义，以及等腰三角形的性质及判定方法，正确证明△BCE是等腰三角形是关键．