Question

已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作MN⊥y轴于点N证得△AOP≌△PNM，得到OP=NM，OA=NP．根据PB=m，用m表示出NM和ON=OP+NP，根据点M在第四象限，表示出点M的坐标即可．
（3）设直线MB的解析式为y=nx-4，根据点M（m+4，-m-8）．然后求得直线MB的解析式为，从而得到无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（-4，0）．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．
则

4k+b=0 b=-4

 解

k=1 b=-4

∴直线AB的解析式为y=x-4．

（2）作MN⊥y轴于点N．
∵△APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP．
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP≌△PNM．（AAS）
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为（m+4，-m-8）．

（3）答：点Q的坐标不变．
设直线MB的解析式为y=nx-4（n≠0）．
∵点M（m+4，-m-8）．
在直线MB上，
∴-m-8=n（m+4）-4．
整理，得（m+4）n=-m-4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．
解得 n=-1．
∴直线MB的解析式为y=-x-4．
∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（-4，0）．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，本题的综合性强，难度较大．