Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】BM+CN=NM，证明见解析

【解析】试题分析：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，将BM，CN放在一条直线上，利用已知证明△DCE≌△BMD，再证出△DMN≌△DEN，从而得出答案．

试题解析：探究结论：BM+CN=NM．

证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，

∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，

∴∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

即∠ABD=∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，

∵BD=CD，BM=EC

∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），

∴∠BDM=∠CDE，

又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，

∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，

∴∠MDN=∠NDE=60°

∴DM=DE（上面已经全等）

在△DMN和△DEN中

∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴NM=EN

即NM=CE+CN

∴BM+CN=NM．