Question

如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；
（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；
（3）求证：a²+b²=c²．

Answer 1

分析：（1）利用旋转的性质得出∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，AB=AE，即可得出△ABE的形状；
（2）利用四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，即可得出答案；
（3）利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进而证明即可．

解答：（1）△ABE是等腰直角三角形，
证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°，
又∵AB=AE，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，
∴四边形ABFE的面积等于：b ²．

（3）∵S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2=

1

2

c2+

1

2

（b+a）（b-a），
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE是解题关键．