Question

（2010•常德）如图AB是⊙O的直径，∠A=30°，延长OB到D使BD=OB．
（1）△OBC是否是等边三角形？说明理由；
（2）求证：DC是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠BOC=60°，又OB=OC，依此可以证明△OBC是否是等边三角形．
（2）要证PC是⊙O的切线，只要证明∠DCO=90°即可．
解答：（1）解：△OBC是等边三角形．理由如下：
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形．

（2）证明：∵BD=OB，△OBC是等边三角形．
∴∠OCB=∠OBC=60°，BD=BC．
∴∠BCD=30°．
∴∠OCD=90°．
∴DC是⊙O的切线．
点评：本题考查了等边三角形的判定和切线的判定．
注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．