Question

如图，抛物线y=﹣x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；

（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣ a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x²+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+x+2；

（2）∵y=﹣x²+x+2，

∴y=﹣（x﹣）²+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．

作CM⊥x对称轴于M，

∴MP₁=MD=2，

∴DP₁=4．

∴P₁（，4），P₂（，），P₃（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x²+x+2

∴x₁=﹣1，x₂=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ a+2），F（a，﹣ a²+a+2），

∴EF=﹣a²+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a²+2a（0≤a≤4）．

∵S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a²+2a）+（4﹣a）（﹣a²+2a），

=﹣a²+4a+（0≤a≤4）．

=﹣（a﹣2）²+

∴a=2时，S_{四边形CDBF的面积最大}=，

∴E（2，1）．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．