Question

（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA₁=1，OA₁与x轴的夹角为30°，线段A₁A₂=1，A₂A₁⊥OA₁，垂足为A₁；线段A₂A₃=1，A₃A₂⊥A₁A₂，垂足为A₂；线段A₃A₄=1，A₄A₃⊥A₂A₃，垂足为A₃；…按此规律，点A₂₀₁₂的坐标为

（503

3

-503，503

3

+503）

．

Answer 1

分析：过点A₁作A₁B⊥x轴，作A₁C∥x轴A₂C∥y轴，相交于点C，然后求出点A₁的坐标，以及A₁C、A₂C的长度，并出A₂、A₃、A₄、A₅、A₆的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，再把2012代入规律进行计算即可得解．

解答：解：如图，过点A₁作A₁B⊥x轴，作A₁C∥x轴A₂C∥y轴，相交于点C，
∵OA₁=1，OA₁与x轴的夹角为30°，
∴OB=OA₁•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
A₁B=OA₁•sin30°=1×

1

2

=

1

2

，
∴点A₁的坐标为（

3

2

，

1

2

），
∵A₂A₁⊥OA₁，OA₁与x轴的夹角为30°，
∴∠OA₁C=30°，∠A₂A₁C=90°-30°=60°，
∴∠A₁A₂C=90°-60°=30°，
同理可求：A₂C=OB=

3

2

，A₁C=A₁B=

1

2

，
所以，点A₂的坐标为（

3

2

-

1

2

，

3

2

+

1

2

），
点A₃的坐标为（

3

2

-

1

2

+

3

2

，

3

2

+

1

2

+

1

2

），即（

3

-

1

2

，

3

2

+1），
点A₄的坐标为（

3

-

1

2

-

1

2

，

3

2

+1+

3

2

），即（

3

-1，

3

+1），
点A₅的坐标为（

3

-1+

3

2

，

3

+1+

1

2

），即（

3 3

2

-1，

3

+

3

2

），
点A₆的坐标为（

3 3

2

-1-

1

2

，

3

+

3

2

+

3

2

），即（

3 3

2

-

3

2

，

3 3

2

+

3

2

），
…，
当n为奇数时，点A_n的坐标为（

n+1

4

3

-

n-1

4

，

n-1

4

3

+

n+1

4

），
当n为偶数时，点A_n的坐标为（

n

4

3

-

n

4

，

n

4

3

+

n

4

），
所以，当n=2012时，

n

4

3

-

n

4

=503

3

-503，

n

4

3

+

n

4

=503

3

+503，
点A₂₀₁₂的坐标为（503

3

-503，503

3

+503）．
故答案为：（503

3

-503，503

3

+503）．

点评：本题考查了点的坐标的规律变化问题，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标的规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的通式是解题的关键．