Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E．

（1）如图1，连接CE并延长CE交AB于点F，若∠CBD＝15°，AB＝4，求CE的长；

（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，交BC于G，连接CF，求证：BG＝CG．

Answer 1

【答案】（1）2-2（2）证明见解析

【解析】

先证明∠BAE＝∠ABE＝45°，结合AC＝BC可证CF垂直平分AB，从而可求出AF＝BF＝EF=2，由勾股定理求出CF的长，即可求出CE的长；

（2）过点C作CM∥BD，由旋转的性质可证△AEF为等边三角形，然后通过证明△ABE≌△ACF和△BGE≌△GMC可证明结论成立.

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC＝AC＝4，∠BAC＝60°且∠DBC＝15°，

∴∠ABE＝45°且AE⊥BD，

∴∠BAE＝∠ABE＝45°，

∴AE＝BE，且AC＝BC

∴CF垂直平分AB，即AF＝BF＝2，CF⊥AB.

∵∠ABE＝45°，

∴∠FEB＝∠ABE＝45°，

∴BF＝EF＝2，

∵Rt△BCF中，

CF＝＝2，

∴CE＝2﹣2；

（2）如图2：过点C作CM∥BD，

∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF

∴AE＝AF，∠EAF＝60°，

∴△AEF为等边三角形，

∴∠AFE＝∠AEF＝60°，

∴∠FAC+∠EAC＝60°，且∠BAE+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，且AB＝AC，AE＝AF，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC＝90°，

∴∠BEF＝150°，∠MFC＝30°.

∵MC∥BD，

∴∠BEF＝∠GMC＝150°，

∴∠CMF＝30°＝∠CFM，

∴CM＝CF且CF＝BE，

∴BE＝CM且∠BGE＝∠CGM，∠BEG＝∠CMG，

∴△BGE≌△GMC，

∴BG＝GC.