Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D。
（1）当点M在线段AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S，试求S与a的函数关系式，并画出该函数的图象。

Answer 1

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4）， 则：MC=|-x+4|=-x+4， MD=|x|=x， ∴四边形OCMD的周长为2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8， ∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；
（2）根据题意得：S四边形OCMD=MC·MD=（-x+4）·x=-x2+4x=-（x-2）2+4, ∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且当x =2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大，且最大面积为4；
（3）如图（1），当0＜a≤2时，   如图（2），当2＜a＜4时， ∴S与a的函数的图象如图（3）所示：