Question

如图，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底边上的高，∠A=30°．
（1）CD与AB有什么数量关系？请说明理由；
（2）过点D作DD₁⊥BC，垂足为D₁；D₁D₂⊥AB，垂足为D₂；D₂D₃⊥BC，垂足为D₃；D₃D₄⊥AB，垂足为D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足为D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足为D_2n+1（n为非零自然数）．若CD=a，请用含a的代数式表示下表中线段的长度（请将结果直接填入表中）；

线段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
长度	3 4 a			…

（3）某工业园区一个车间的人字形屋架为（2）中的图形，跨度AB为16米，CD是该屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n为辅柱．若整个屋架有18根辅柱，则最短一根辅柱的长度约为多少米？（结果精确到0.1米）

Answer 1

分析：（1）根据30°的正切值易得CD与AD之间的关系，而根据等腰三角形三线合一的性质可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根据60°的正弦值得到DD1=

3

2

a；同理可得D₁D₂=（

3

2

）²a=

3

4

a，按规律可得D₃D₄=（

3

2

）⁴a=

9

16

a，D₅D₆=（

3

2

）⁶a=

27

64

a，D_2n-1D_2n=（

3

2

）²ⁿa=（

3

4

）ⁿa；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的结论，可算出D₇D₈的长度，利用30°的余弦值可求得所求线段的长度．

解答：解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=

1

2

AB．
在Rt△ACD中，

CD

AD

=tan30°，∴CD=ADtan30°=

1

2

AB×

3

3

=

3

6

AB．

（2）填表依次为：(

3

4

)2a（或

32

42

a或

9

16

a），(

3

4

)3a
（或

33

43

a或

27

64

a），(

3

4

)na（或

3n

4n

a）

（3）∵整个屋架有18根辅柱，
∴右侧最短一根辅柱为D₈D₉，倒数第二根为D₇D₈，
D₈D₉=D₇D₈cos30°=（

3

4

）⁴a×cos30°=（

3

4

）⁴×

3

6

AB×cos30°
=（

3

4

）⁴×

3

6

×16×cos30°=

81

64

≈1.3（米）．
答：最短一根辅柱的长度约为1.3米．

点评：本题主要运用了等腰三角形的性质及锐角三角函数，注意总结规律的得出．