Question

在等腰梯形中，已知AB=CD，AD∥BC，点E是AD上的一个动点，点F、G、H分别为BE、BC、CE的中点．
（1）当点E运动到什么位置时，四边形EFGH是菱形，说明理由；
（2）当四边形EFGH是正方形时，说明线段EG和BC的关系．（不用证明）

Answer 1

分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得EF=EH，从而得到BE=CE，再根据等腰梯形的对称性可得点E是AD的中点；
（2）根据正方形的对角线互相垂直且相等可得EG⊥FH且EG=FH，再根据FH是△BCE的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．

解答：解：（1）点E运动到AD的中点时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
当四边形EFGH是菱形时，EF=EH，
又∵G、F分别是BC、BE的中点，
∴BE=CE，
根据等腰梯形的对称性，AE=DE，
即当点E运动到什么位置时，四边形EFGH是菱形．

（2）当四边形EFGH是正方形时，EG⊥FH，且EG=FH，
∵F、H分别是BE、CE的中点，
∴FH∥BC且FH=

1

2

BC，
∴EG⊥BC且EG=

1

2

BC．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定方法以及三角形的三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．