Question

【题目】对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点，，，……,都在△ABC的边上，且，那么称点，，，……,为△ABC关于点P的等距点，线段，，，……,为△ABC关于点P的等距线段.

（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点.

①点B，C △ABC关于点P的等距点，线段PA，PB △ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）

②△ABC关于点P的两个等距点，分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；

（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC=1,求线段DC的长；

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点.若，直接写出长的取值范围.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）.

【解析】

（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；

②根据题意，点P在∠BAC的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P作AB、AC的垂线段即可；

（2）显然点D不可能在AB边上，分点D在等边△ABC的边AC、BC上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；

（3）先求出△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点时的PC的长，进而可得答案.

解：（1）①∵点P是BC的中点，∴PB=PC，∴点B、C是△ABC关于点P的等距点；

∵PA≠PB，∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；

故答案为：是，不是；

②线段，如图3所示：

（2）显然，点D不可能在AB边上，若点D在AC边上，如图4所示，

∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，

∵点C，D是△ABC关于点P的等距点，∴PC=PD，

∴△PCD是等边三角形，∴CD=PC=1；

若点D在BC边上，如图5所示，∵点C，D是△ABC关于点P的等距点，∴PC=PD=1，∴CD=2；

∴DC=1或2；

（3）当PM⊥AB且PM=PC时，如图6，此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点，

∵∠B＝30°，∴BP=2PM，∴BC=3PC=a，∴；

当点P为BC的中点时，如图7所示，此时△ABC关于点P的等距点恰好有3个，且其中一个是点，∴；

∴△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点时，PC长的取值范围是：.