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    在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．  

    （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；     

    （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？      

    （3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

    解：

    （1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

      ∴ △AMN ∽ △ABC．

    ∴ ，即．

    ∴ AN＝x． 

    ∴ =．（0＜＜4）

    （2）

    如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

    在Rt△ABC中，BC ＝=5．

        由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

    ∴ ，即． 

    ∴ ，

    ∴ ．  

    过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 

    在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

    ∴ △BMQ∽△BCA．

    ∴ ．

    ∴ ，．

    ∴ x＝． 

    ∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．

    （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

    ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

    ∴ △AMO ∽ △ABP．  

    ∴ ． AM＝MB＝2． 

    故以下分两种情况讨论：

    ① 当0＜≤2时，． 

    ∴ 当＝2时， 

    ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

    ∵ 四边形AMPN是矩形， 

    ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

    又∵ MN∥BC，

    ∴ 四边形MBFN是平行四边形．

    ∴ FN＝BM＝4－x． 

    ∴ ．

    又△PEF ∽ △ACB． 

    ∴ ．

    ∴ ．

    ＝．

    当2＜＜4时，．   

    ∴ 当时，满足2＜＜4，．    

    综上所述，当时，值最大，最大值是2．

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    (2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B
    时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
    (3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

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    （1）如图1，若α＝90°，求β的大小；

    （2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；

    （3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时（画出图形），（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．

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