Question

【题目】如图①线段是的直径，点在上，点在射线上运动(点不与点重合)，直径的垂线与的平行线相交于点连接设

求的取值范围；

如图②点是线段与的交点，若求证:直线与相切；

如图③当时，连接判断四边形的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x≥2；（2）证明见解析；（3）四边形为菱形，理由见解析．

【解析】

（1）当点P在点C处，PB取得最小值，即x=AB=2，即可求解；

（2）若证明线段PD与⊙O相切，可证明且OD=OA=2，连接过点作于点先求得PH和AP，即可求得OD．

（3）先证得，求得AP和IA，，求得，故得DP，DP=AB，且可证得四边形为平行四边形，又因为=PB，所以四边形为菱形．

（1）如图所示，当点与重合时，最短．

∵是⊙O的直径，

∴．

∵，

∴

∴．

故答案为：

（2）如图所示：连接过点作于点

∵是⊙O的直径，

∴．

∵

∴

∴．

在中，

∴．

∵

∴

∵

∴

∴

∴直线与⊙O相切；

（3）四边形为菱形．

理由如下：

如图所示：连接与相交于点，

∵是⊙O的直径

∴

∵

∴

∴．

在中，

∴．

∴在中，

∴

∴

∵，

∴

在中，

∴

∴．

又∵

∴四边形为平行四边形

∵

∴四边形为菱形．