Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2 ，0）、B（2 ，0）、C（0 ，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C，D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l₁、l₂．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

Answer 1

解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c， 由， 解得：a=，b=0，c=﹣1， 所以y=x2﹣1； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 因为点M、N在抛物线上， 所以y1=x12﹣1，y2=x22﹣1， 所以x22=4（y2+1）； 又ON2=x22+y22=4（y2+1）+y22=（y2+2）2， 所以ON=， 又因为y2≥﹣l， 所以ON=2+y2． 设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线， 垂足为P、F， 则EF=， 所以ON=2EF， 即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半， 所以以ON为直径的圆与l1相切； （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H， 则MN2=MH2+NH2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）， 又y1=kx1，y2=kx2， 所以（y2﹣y1）2=k2（x2﹣x1）2， 所以MN2=（1+k2）（x2﹣x1）2； 又因为点M 、N 既在y=kx的图象上，又在抛物线上， 所以kx=x2﹣1，即x2﹣4kx﹣4=0， 所以x=， 所以（x2﹣x1）2=16（1+k2）， 所以MN2=16（1+k2）2， ∴MN=4（1+k2）， 延长NP交l2于点Q， 过点M作MS⊥l2交l2于点S， 则MS+NQ=y1+2+y2+2 =x12﹣1+x22﹣1+4=（x12+x22）+2， 又x12+x22=2[4k2+4（1+k2）]=16k2+8， 所以MS+NQ=4k2+2+2=4（1+k2）=MN， 即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长．