Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，M为DE的中点，AM与BE相交于N，AD与BE相交于F．
求证：
（1）

DE

CE

=

AD

CD

；     
（2）△BCE∽△ADM；
（3）猜想AM与BE的位置关系，并予以说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD与BC垂直，DE与AC垂直，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△DEC∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例得到比例式，变形后即可得证；
（2）由三角形ADC与三角形DEC都为直角三角形，利用同角的余角相等得出一对角相等，根据M为中点，得到DE=2DM，AB=AC且AD⊥BC，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出CD=

1

2

BC，代入（1）得出的比例式中，变形后得到两对对应边相等，利用两对对应边且夹角相等的两三角形相似可得证；
（3）AM与BE的位置关系是垂直，由（2）得出的两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BFD∽△AFN，利用相似三角形的对应角相等得到∠BDF=∠ANF，由AD垂直于BC，得到∠BDF为直角，可得出∠ANF为直角，利用垂直的定义得到AM与BE垂直，得证．

解答：（1）解：∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴

DE

AD

=

CE

DC

，即

DE

CE

=

AD

CD

；
（2）解：∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD=

1

2

BC，
∵M为DE的中点，
∴DM=EM=

1

2

DE，
由（1）得

DE

CE

=

AD

CD

，即

1 2 DE

CE

=

AD

2DC

，
∴

DM

CE

=

AD

BC

，
∴△BCE∽△ADM；

（3）AM⊥BE，理由为：
证明：∵△BCE∽△ADM，
∴∠CBE=∠DAM，又∠BFD=∠AFN，
∴△BFD∽△AFN，
∴∠BDF=∠ANF，又∠BDF=90°，
∴∠ANF=90°，
则AM⊥BE．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，其中相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似，本题第二问用的是第二种方法．