Question

【题目】如图①，已知是等腰三角形，是边上的高，垂足为，是底边上的高，交于点．

（1）若．求证：≌；

（2）在图②, 图③中，是等腰直角三角形，点在线段上(不含点)，，且交于点，，垂足为．

ⅰ）如图②，当点与点重合，试写出与的数量关系；

ⅱ）如图③，当点在线段上(不含点，)时，ⅰ）中的结论成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）ⅰ）；ⅱ）成立，证明见解析

【解析】

（1）如图1，根据同角的余角相等证明，利用ASA证明≌；

（2）①如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明≌，则CP=AF，再证明≌，可得结论；

②结论仍然成立，过点作的平行线交于，且于的延长线相交于点，证明≌，得，再证明≌即可求解．

证明：（1）∵

∴

∵

∴

在和中

∴≌；

（2）ⅰ）：

证明过程如下：延长、交于点

∵

∴

∵

∴

∵是等腰直角三角形，

∴AE=CE，

又

∴≌

∴

∵

∴平分

则

∵

∴

又AD=AD

∴≌（ASA）

∴

∴

∴；

ⅱ）成立，即

证明如下：过点作的平行线交于，且于的延长线相交于点

∴,

∴=

∴是等腰直角三角形，

∴CQ=QB

同理可得≌

∴

∵=

∴BD平分

则

∵

∴=90

又BD=BD

∴≌（ASA）

∴

∴

∴．