Question

如图，直线经过点B（，2），且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数；
（2）直线AB交抛物线的右侧于点D，问点B是AD中点吗？试说明理由；
（3）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式．

Answer 1

解：（1）设直线与y轴交于点M，
将x=-，y=2代入y=x+b得b=3，
∴y=x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时x=-3
∴A（-3，0），M（0，3）；
∴OA=3，OM=3，
∴tan∠BAO==
∴∠BAO=30°．

（2）联立直线AB和抛物线的解析式，有：
，解得：、
∴D（，）；
已知：A（-3，0）、B（，2），显然点B不是AD的中点．

（3）设抛物线C的解析式为y=（x-t）²，则P（t，0），E（0，t²），
∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t，t²），
把x=2t，y=t²代入y=x+3
得t+3=t²
解得t₁=-，t₂=3
∴抛物线C的解析式为y=（x+）²或y=（x-3）²．
分析：（1）首先将B点坐标代入直线AB的解析式中，在确定出b值后进而能得出直线AB与x、y轴的交点坐标，若设直线AB与y轴的交点为M，那么在Rt△AOM中，根据OA、OM的长可求出∠OAB的正切值，由此得出∠BAO的度数．
（2）联立直线AB和抛物线的解析式，在求出点D的坐标后，根据A、B、D三点的坐标来判断点B是否为AD的中点．
（3）根据“左加右减、上加下减”的平移规律先设出抛物线C的表达式，即可得出E点的坐标；点E为抛物线C与y轴的交点，点F为直线AB与抛物线C的交点，也可以理解为点E、F都在抛物线C的图象上，若EF∥x轴，那么点E、F必关于抛物线对称轴对称，首先根据点E的坐标和抛物线对称轴方程表示出点F的坐标，再代入直线AB的解析式中进行求解即可．
点评：此题的难度适中，在（1）题中，求出直线AB的解析式，题目也就解决了大半；（2）题着重考查的是一次函数与二次函数的交点坐标的求法；（3）题中，点E、F关于抛物线对称轴对称是不容易想到的地方，此外，二次函数的平移规律也是需要牢记的内容．