Question

我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是

1

2

(9-1)，

1

2

(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是

1

2

(25-1)，

1

2

(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．

Answer 1

分析：（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证；
（3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1．

解答：解：（1）

1

2

(72-1)，

1

2

(72+1)；

（2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)
它们之间的关系为：（ⅰ）弦-股=1，（ⅱ）勾²+股²=弦²
如证明（ⅰ），弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=

1

2

n2+

1

2

-

1

2

n2+

1

2

=1；

（3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1，它们的股和弦．

点评：能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般．