Question

已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12． 　　∴AD＞4，AB＜2． 　　根据题意可分为两种情况，第一种情况如答图(a)所示． 　　当tg∠BAE＝时，设CE＝x，BE＝m，则AB＝CD＝2m，AD＝m＋x． 　　∵AB＋AD＝6， 　　∴2m＋m＋x＝6，m＝． 　　S梯形AECD＝(AD＋EC)·DC 　　＝[(m＋x)＋x]·2m 　　＝m(x＋2x) 　　＝· 　　＝－x2＋x＋4． 　　其中3＜x＜6． 　　第二种情况如答图(b)所示． 　　当tg∠DAE＝时， 　　在矩形ABCD中，AD∥BC， 　　∴∠DAE＝∠AEB． 　　∴tg∠AEB＝． 　　设CE＝x，AB＝CD＝n， 　　则BE＝2n，AD＝2n＋x． 　　∵矩形的周长为12， 　　∴AB＋AD＝6． 　　∴n＋2n＋x＝6，n＝． 　　S梯形AECD＝(AD＋EC)·DC 　　＝[(2n＋x)＋x]·n 　　＝(n＋x)n 　　＝· 　　＝－x2＋x＋4． 　　其中0＜x＜6．