Question

【题目】如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可．

①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，

∴当x＝﹣2时，y＜0，

即4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，

∴3a+b＝3a﹣2a＝a<0，所以②不符合题意；

③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴＝n，

∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；

④∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，

∴抛物线与直线y＝n﹣1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．

故选：B．