Question

如图，在直角坐标系xoy中，已知两点O₁（3，0）、B（-2，0），⊙O₁与x轴交于原点O和点A，E是y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）．
（1）当点O₁到直线BE的距离等于3时，求直线BE的解析式；
（2）当点E在y轴上移动时，直线BE与⊙O₁有哪几种位置关系；直接写出每种位置关系时的m的取值范围；
（3）若在第（1）题中，设∠EBA=α，求sin2α-2sinα•cosα的值．

Answer 1

解：（1）由已知得BE是⊙O₁的切线，
设切点为M，连接O₁M，则O₁M⊥BM，
∴O₁M=3，BM=4，又OE⊥BO，
∴△BOE∽△BMO，
∴=，
∴=，
∴m=，
设此时直线BE的解析式是y=kx+m，
将B（-2，0）及m=代入上式，解得k=，
∴y=x，
由圆的对称性可得：m=-，直线BE也与⊙O₁相切，
同理可得：y₂=-x-；

（2）当m或m＜-时，直线与圆相离，
当m=或m=-时，直线与圆相切，
当＜m＜时，直线与圆相交；

（3）当直线BE与⊙O₁相切时，显然存在另一条直线BF也与⊙O₁相切，
设直线BE、BF与⊙O₁相切于点M、N，连接O_1M、O₁N，有O_1M⊥BM，O_1N⊥BN，由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α，
sinα==，
cosα==，
过E作EH⊥BF于H，再△BEF中，
由三角形等积性质得；EH•BF=EF•BO，
BF=BE=，EF=2m=3，BO=2，
∴EH=，
sin2α=sin∠EBF===，
由此可得：sin2α-2sinα•cosα=××2=0．
分析：（1）由已知得出BE是⊙O₁的切线，先设切点为M，连接O₁M，则O₁M⊥BM，得出O₁M、BM的值，再根据OE⊥BO，又得出△BOE∽△BMO，即可求出m的值，最后设出直线BE的解析式是y=kx+m，
把B点的坐标以及m的值代入解出k的值，从而求出直线BE的解析式；
（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与⊙O₁的位置关系；
（3）先设直线BE、BF与⊙O₁相切，由圆的对称性可知∠EBF=2∠EBO=2∠α，得出sinα与cosα的值，再过E作EH⊥BF于H，由三角形等积性质得出EH•BF=EF•BO，即可求出EH的值，最后即可求出sin2α-2sinα•cosα的值；
点评：此题考查了一次函数的综合；解题的关键是根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离以及锐角三角函数的求法分别进行解答．