Question

【题目】正方形中，为对角线上一点，且，交于，延长交于．

（1）求证：；

（2）已知如图（2），为上一点，连接，并将逆时针旋转至，连接，为的中点，连接，试求出．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）过点P作PF⊥CD于F点，过点P作PE⊥BC于E点，得到四边形CFPE是正方形，证明△PME≌△PDF，得到ME=DF，再根据正方形的性质即可求解；

（2）过Q点作QM⊥CD，延长DH交QM于E点，过E点作FN⊥BC交BC于F点，交AD于N点，连接DG，根据题意证明四边形ENDM是正方形，DE是对角线，过H点作HP⊥AD，根据中位线的性质得到AQ=2HP，根据等腰直角三角形的性质得到DH=HP，故可求出的值．

（1）过点P作PF⊥CD于F点，过点P作PE⊥BC于E点，

∵∠ECF=90°

∴四边形CFPE是矩形

∵为对角线上一点，

∴CP平分∠ECF

∴EP=FP

∴矩形CFPE是正方形

∴

∵

∴∠MPF+∠FPD=90°

∵∠MPF+∠MPE=90°

∴∠EPM=∠FPD

又∵EP=FP，∠PEM=∠PFD=90°

∴△PME≌△PDF

∴ME=DF

∴==CE+CF

∵PC=

∴CE=

∴；

（2）过Q点作QM⊥CD，延长DH交QM于E点，过E点作FN⊥BC交BC于F点，交AD于N点，

∴四边形EFBQ是矩形，四边形ENDM是矩形，

连接DG，

∵逆时针旋转至，

∴CQ=CG，CQ⊥CG

∴∠QCD+∠DCG=90°

∵∠QCD+∠BCQ=90°

∴∠BCQ=∠DCG

又∵BC=DC，CQ=CG

∴△BCQ≌△DCG，∠CDG =∠CBQ=90°

∴A,D,G在同一直线上，

∴DG=BQ,

∵MQ⊥CD,AG⊥CD

∴QM∥AG

∴∠EQH=∠DGH,

∵H是GQ的中点，

∴HQ=HG

又∵∠EHQ=∠DHG,

∴△EHQ≌△DHG，

∴EQ=DG

∴BQ=EQ

∴矩形EFBQ是正方形

∴EF=EQ

∴MQ-EQ=FN-EF

∴EM=EN

∴矩形ENDM是正方形，

∴DE是正方形ENDM的对角线，

过H点作HP⊥AG，

∵H点是HG的中点，∠QAG=90°

∴P点是AG中点，

∴AQ=2HP

∵△HDP是等腰直角三角形，HP=DP

∴DH=

∴=．