Question

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，小明在探究

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

结果时，发现可利用图形的知识来解决问题．他是这样规定的：在图1中，若线段AB的长为1，C₁为AB的中点，C₂为C₁B的中点，C₃ 为C₂B的中点，…，C_n为C_n-1B的中点．
（1）则可以得出线段C₁B=

 

，C₁C₂=

 

，ACn=

 

；
（2）从而发现了

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=

 

；
（3）小明学习上爱动脑，经过认真思考和分析后，发现在计算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

时，也可以利用构造一个图形，通过面积来计算．他构造图形是：如图2，正△ABC面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，依次取下去…，能直观地计算出结果．请你根据这个图形说明小明的结果：

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

=

 

．
请你对小明的发现，试给出必要的说理．

Answer 1

分析：（1）根据线段中点的定义写出前两个，并发现后一段是前一段的

1

2

，然后求出C_n-1C_n=C_nB，AC_n=AB-C_nB，代入数即可；
（2）与线段联系发现，这列数据的和等于线段AB，所以这列数的和等于1；
（3）根据三角形的中位线定理与相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得这列数分别是被依次分割取得的三角形的面积，根据三角形的面积分别表示出四边形ABB₁A₁的面积，四边形A₁B₁B₂A₂的面积，四边形A₂B₂B₃A₃的面积，…四边形A_n-1B_n-1B_nA_n的面积，再根据所有四边形的面积相加即可得解．

解答：解：（1）∵AB=1，C₁为AB的中点，
∴C₁B=

1

2

AB=

1

2

，
∵C₂为C₁B的中点，
∴C₁C₂=

1

2

C₁B=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
以此类推，每取一次中点，线段的长度变为前一次的

1

2

，
∴C_n-1C_n=C_nB=（

1

2

）ⁿ=

1

2n

，
∴AC_n=AC-C_nB=1-

1

2n

；

（2）结合图形，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=AC₁+C₁C₂+…+C_nB=AC_n，
∴

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=1-

1

2n

；

（3）∵正△ABC面积为1，A₁、B₁分别为AC、BC两边的中点，
∴S_△A1B1C=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
∴S_{四边形ABB1A1}=3S_△A1B1C=3×

1

4

，
同理S_△A2B2C=

1

4

S_△A1B1C=

1

4

×

1

4

=

1

42

，
∴S_{四边形A1B1B2A2}=3S_△A2B2C=3×

1

42

，
…
以此类推S_{四边形An-1Bn-1BnAn}=3S_△AnBnC=3×

1

4n

，
S_△AnBnC=

1

4n

，
∵S_△ABC=S_{四边形ABB1A1}+S_{四边形A1B1B2A2}+…+S_{四边形An-1Bn-1BnAn}+S_△AnBnC=1，
即3×

1

4

+3×

1

42

+…+3×

1

4n

+

1

4n

=1，
∴

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

=

1- 1 4n

3

．
故答案为：（1）

1

2

，

1

4

，1-

1

2n

；（2）1；（3）

1- 1 4n

3

．

点评：本题是对图形变化问题的考查，把数据融合与图形的线段的长度或面积中，做到数形结合，用图形表示数据，用数据描述图形是解题的关键，也是解题的突破口，本题难度较大，灵活性较强，求解时一定要小心仔细．