Question

（1997•甘肃）如图，D是△ABC外接圆上的一点，且BD=DC=6cm，连接AD交BC于M，如果AM=9cm，求AD的长．

Answer 1

分析：先由BD=DC，得出∠DBC=∠BCD，而∠BAD=∠BCD，则∠BAD=∠DBC，再由∠ADB公共，可证明△ABD∽△BMD，设AD=x，则DM=x-9，根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，解方程即可．

解答：解：设AD=x，则DM=x-9．
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠BCD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD=∠DBC．
在△ABD与△BMD中，

∠BAD=∠DBC ∠ADB=∠BDM

，
∴△ABD∽△BMD，
∴AD：BD=BD：MD，
∴x：6=6：（x-9），
整理得：x²-9x-36=0，
∴x₁=12，x₂=-3（不合题意舍去），
∴AD=12cm．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，根据两角对应相等的两三角形相似证明出△ABD∽△BMD是解题的关键．