Question

【题目】如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，点在轴上，且．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线上的一个动点的横坐标为．

①当时，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值；

②点在直线上，若以为边，点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）①S=，S的最大值为；②点P的坐标分别为：P1（1，4），P2（2，3），P3（，），P4（，）．

【解析】

（1）由对称轴和A点坐标可求出B点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，把C（0，3）代入，可求出a值，即可得答案；

（2）①如图，连结BC，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，根据B、C两点坐标可得直线BC的解析式，根据可求出OD、CD的长，设P（t，-t2+2t+3），则E（t，-t+3），可用含t的代数式表示出PE的长，根据S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC可得S的表达式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；

②由以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形可得PQ∥CD，且PQ=CD，分点P在点Q上方和点P在点Q下方两种情况，利用平行四边形的性质求出t值即可得答案．

（1）∵对称轴为x=1，A（-1，0），

∴B（3，0），

设所求抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），

∵抛物线经过C（0，3）两点，

∴3=a（0+1）（0-3），

解得：a=-1，

∴所求抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．

（2）①如图，连结BC，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为y=-x+3．

∵OB=3OD，OB=OC=3，

∴OD=1，CD=2．

设P（t，-t2+2t+3），则E（t，-t+3）．

∴PE=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t．

∴S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC=CD·OB+PE·OB，

∴S=

∵a=＜0，且0＜t＜3，

∴当t=时，S的最大值为．

②∵以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ∥CD，且PQ=CD=2，

∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，

∴点P（t，-t2+2t+3），点Q（t，-t+3）．

分两种情况讨论：

第一种情况：如图，当点P在点Q上方时，

∴（-t2+2t+3）-（-t+3）=2．即t2-3t+2=0，

解得：t1=1，t2=2，

∴P1（1，4），P2（2，3）．

第二种情况：如图，当点P在点Q下方时，

∴（-t+3）-（-t2+2t+3）=2．即t2-3t-2=0，

解得：t3=，t4=，

∴P3（，），P4（，）．

综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P1（1，4）， P2（2，3），P3（，）， P4（，）．