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    8．已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，按下列要求重叠，试求出所要求的结果．
    （1）如图（a），把矩形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD、BE交CD于点F，求DF的长；
    （2）如图（b），折叠矩形ABCD，使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长．
    （3）如图（c），折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，求折痕EF的长．
    （4）如图（d），若AB的长为5，BC=3，E为AD上一点，把矩形ABCD沿BE折叠，若点A恰好落在CD上点F处，求DE的长．

    分析 （1）先由折叠得出DE=AD=BD，进而判断出△DEF≌△BCF，即可得出EF=FC，再根据勾股定理即可求出DF；
    （2）先根据勾股定理求出BD，再由同角的三角函数建立方程即可求出AE，最后用勾股定理即可；
    （3）同（2）的方法即可得出结论；
    （4）先求根据勾股定理求出CF，即可得出DF，最后用勾股定理建立方程求解即可．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
    ∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠A=∠C=90°，
    由折叠知，DE=AD=BC=3，∠E=∠A=90°，
    ∴∠E=∠C=90°，
    在△DEF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠BFC}\\{∠E=∠C}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
    ∴△DEF≌△BCF，
    ∴EF=FC=CD-DF=4-DF，
    在Rt△DEF中，DE=3，根据勾股定理得，DF2=DE2+EF2，
    ∴DF2=9+（4-DF）2，
    ∴DF=$\frac{25}{8}$；

    （2）由折叠知，∠DFE=∠A=90°，EF=AE，DF=AD=3
    在Rt△ABD中，tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
    根据勾股定理得，BD=5，
    ∴BF=BD-DF=5-3=2，
    在Rt△BEF中，tan∠ABD=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
    ∴$\frac{EF}{2}=\frac{3}{4}$，
    ∴EF=$\frac{3}{2}$，
    ∴AE=$\frac{3}{2}$，
    在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；

    （3）由（2）知，BD=5，
    由折叠知，∠DOE=90°，EO=FO，DO=BO=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，
    在Rt△BCD中，tan∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
    在Rt△DOE中，tan∠BDC=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{3}{4}$，
    ∴OE=$\frac{3}{4}$OD=$\frac{15}{8}$，
    ∴EF=2OE=$\frac{15}{4}$，

    （4）由折叠知，BF=AB=5，
    在Rt△BCF中，BC=3，根据勾股定理得，CF=4，
    ∴DF=CD-CF=AB-CF=1，
    在Rt△DEF中，EF=AE=AD-DE=3-DE，
    根据勾股定理得，EF2=DE2+DF2，
    ∴（3-DE）2=DE2+1，
    ∴DE=$\frac{5}{3}$．

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出△DEF≌△BCF，解（2）的关键是求出EF，解（3）的关键是求出OE，解（4）的关键是用勾股定理建立DE的方程求解，是一道中等难度的中考常考题．

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