Question

【题目】如图1，在中，，点是延长线上的一点，，垂足为，联结.

(1)求证:

(2)当点是中点时，求的值;

(3)如图2，的延长线交的平行线于点，求证:

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）根据题中已知条件易证∽，根据相似三角形的性质可得，这个式子可以转化为，再根据，可证明∽.

（2）在中利用勾股定理可得出，因为，可得出，CD=8，可得，在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD=，所以ED，在Rt△EFD中，设EF=m，则DF=2m，根据勾股定理列出方程，解得m的值，可得EF=2，FD=4，所以F为CD中点，又EF⊥CD，可得EC=ED，∠ECD=∠D，所以得到.

（3）根据可得，推出根据，可得即：，再根据等角的余角相等可证出即可得出∽.

(1)

∽

∽；

(2)如图，过点E作EF⊥CD于点F

在中，，

由勾股定理得：

∵在Rt△BCD中，BC=4，CD=8，

∴由勾股定理得：BD=，

∵E为BD中点，

∴ED=，

在Rt△EFD中，, ，

设EF=m，则DF=2m，

根据勾股定理可得：,

解得：m=2

∴EF=2，FD=4，

∵CD=8，

∴F为CD中点，

又∵EF⊥CD，

∴EC=ED，∠ECD=∠D

；

(3)

，

∽

∽.