Question

已知边长为5的正方形ABCD和边长为2的正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）如图①，连接DF、BF，显然DF=BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等．”是否正确，为什么？
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等？并以图②为例说明理由．

Answer 1

分析：（1）不相等，以旋转45°为例，分别求出DF、BF的长度，从而得解；
（2）连接BE，根据正方形的四条边都相等，每一个角都是直角推出∠DAG=∠BAE，然后利用边角边证明△ADG与△ABE全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明BE=DG．

解答：解：（1）DF≠BF．
理由如下：如图①，以旋转45°为例，
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为5，2，
∴AF

2

AE=2

2

，
∴DF=

AD2+AF2

=

52+(2 2 )2

=

33

，
BF=AB-AF=5-2

2

，
∴DF≠BF；

（2）BE与DG始终相等．
理由如下：如图②，连接BE，
在正方形ABCD与正方形AEFG中，AD=AB，AG=AE，
∠DAG+∠BAG=90°，∠BAE+∠BAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG与△ABE中，

AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴BE=DG，
即旋转过程中BE与DG的长始终相等．

点评：本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状找出全等的条件是解题的关键．