Question

【题目】如图，中，以为直径作⊙，交于点，为弧上一点，连接、、，交于点.

(1)若，求证:为⊙的切线;

(2)若，求证:平分;

(3)在(2)的条件下，若，求⊙的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）根据AB为⊙直径，得出=90°，即°，，，推出，即°，

所以==90°，得出AC为⊙的切线；（2）证明， 得到，因为，所以，即可得到AE平分；（3）过点F作FH⊥AB于H可证，可得AH=AD=4，FH=DF=2；可证故；BH=x，则BD=2x，BF=2x-2，利用勾股定理可得，；解得BH=，AB=BH+AH=，由AO=AB=，即可得⊙的半径.

（1）证明：∵AB为⊙直径，

∴=90°，

∴°，

∵，，

∴，

∴°，

即°，

∴AC为⊙的切线；

（2）证明：∵，

∴；

∵，

∴；

∴，

∵，

∴；

即AE平分.

（3）解：过点F作FH⊥AB于H.

∴°；

又∵，AF=AF，

∴；

∴AH=AD=4，FH=DF=2；

∵°，，

∴，

∴；

设BH=x，则BD=2x，BF=2x-2，

∴，

∴；

∴x=0(舍)或x=；

∴BH=，AB=BH+AH=；

∴AO=AB=；

∴⊙的半径为.