Question

如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2．

（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵tanB=2，
∴AE=2BE；
∵E是BC中点，
∴BC=2BE，
即AE=BC；
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；

（2）证明：作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DPC；
∵∠AEP=∠EFP=90°，
∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，
即∠ADG=∠AEF=∠FPE；
又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG，
∴△AFE≌△AGD，
∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；
∴FG=AF，且DF=DG+GF=EF+FG，
故DF-EF=AF；

（3）解：如图3，
①当EP≤2BC时，DF+EF=AF，解法同（2）．
②当EP＞2BC时，EF-DF=AF．
分析：（1）首先根据∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．
（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．
（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已．
点评：此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键．