Question

已知抛物线 经过点（1，2）。

（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且⊿ABC为等边三角形，

求b的值；

（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求 |a| ＋ |b| ＋ |c| 的最小值。

Answer 1

解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，　∵a＝1，∴b＋c＝1 　　　抛物线顶点为A（－，c－）

设B（x₁，0），C（x₂，0），∵x₁＋x₂＝－b，x₁x₂＝c，△＝b²－4c＞0

∴|BC|＝| x₁－x₂|＝＝＝

∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝   　　　　　

即b²－4c＝2·，∵b²－4c＞0，∴＝2

∵c＝1－b，　∴b²＋4b－16＝0，　b＝－2±2           所求b值为－2±2 　　　　　　　

⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．

∵b＋c＝2－a，bc＝   ∴b、c是一元二次方程x²－(2－a)x＋＝0的两实根．

∴△＝（2－a）²－4×≥0，　∴a³－4a²＋4a－16≥0,  即（a²＋4）(a－4)≥0，故a≥4.　

∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．

①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；　　

②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,

则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵ a≥4，故2a－2≥6

当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．

故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．